Геометрия 7 класс бутузов учебник гдз

У нас вы можете скачать книгу геометрия 7 класс бутузов учебник гдз в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Как правило, прямые обозначаются малыми латинскими буквами: Прямая, как и любая геометрическая фигура, состоит из точек. Если А 6 а, то говорят также, что прямая а проходит через точку А. Чтобы провести прямую на листе бумаги, пользуются линейкой рис. При этом, однако, изображается лишь часть прямой, называемая отрезком. Отметим какие-нибудь две точки и проведём через них прямую см.

Разметка на автомобильной дороге даёт представление о прямой и отрезках. Таким образом, через две точки проходит прямая, и притом только одна. Из этого следует, что две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек рис. В самом деле, если бы две прямые имели две общие точки, то через эти две точки проходили бы две прямые, чего не может быть, так как через две точки проходит только одна прямая.

Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются, а общая точка называется точкой пересечения этих прямых. Отрезок с концами А и В также обозначают двумя буквами: АВ или ВА рис. Любая прямая разделяет плоскость на две части, каждая из которых называется полуплоскостью, а сама прямая называется границей каждой из этих полуплоскостей.

На рисунке 12 одна из полуплоскостей с границей а красная, а другая — синяя. Общее начало двух лучей называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла. Если сторонами угла являются лучи Л и fe, то угол обозначают так: На рисунках углы иногда обозначают цифрами.

Угол называется развёрнутым, если его стороны лежат на одной прямой. Говорят, что каждая сторона развёрнутого угла является продолжением другой стороны. Неразвёрнутый угол разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью этого угла. На рисунке 15, а внутренняя область угла закрашена синим.

На рисунке 16 точка А лежит внутри неразвёрнутого угла hk т. Фигуру, соаоящую из неразвёрнутого угла и его внутренней области, также называют углом.

Рассмотрим теперь развёрнутый угол рис. Прямая, на которой лежат его стороны, разделяет плоскость на две полуплоскости. Любую из этих полуплоскостей можно выбрать в качестве внутренней области развёрнутого угла.

Если луч исходит из вершины неразвёрнутого угла и проходит внутри угла, то говорят, что он делит этот угол Рис. Вопросы и задачи 1. Через каждую пару этих точек проведена прямая Сколько всего проведено прямых?

Рассмотрите все возможные чая сделайте рисунок. Может ли прямая АВ иметь общую Рис. Найдите число точек, каждая из которых принадлежит по крайней мере двум из данных прямых. Рассмотрите все возможные случаи и сделайте рисунки. И б Перечертите рисунок 28 в тетрадь и проведите два луча с началом А так, чтобы один из них пересекал луч ВС.

Можно ли провести луч с началом М, удовлетворяющий обоим условиям? Общей частью каких полуплоскостей является внутренняя область угла DOE1 д Через вершину неразвёрнутого угла провели прямую. Сколько новых углов при этом образовалось? Общей частью каких полуплоскостей является внутренняя область угла AOD7 д Сколько прямых нужно провести через данную точку, чтобы образовалось ровно шесть углов с вершинами в этой точке?

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными Пусть даны две фигуры — Ф, и Ф2. Чтобы узнать, равны они или нет, можно скопировать фигуру Ф2 на прозрачную бумагу рис. Мысленно можно представить себе, что на фигуру Ф, накладывается сама фигура Фг, а не её копия. Таким образом, можно сказать: Назовите середину отрезка BD. Сравните отрезки АЛ и BE. Рассмотрите все возможные варианты.

Могут ли отрезки LM и КУ быть равными? В случае положительного ответа сделайте рисунок. В странах — участницах Метрической конвенции в частности, в России в качестве основной единицы измерения отрезков используется метр.

Для измерения отрезков, изображённых на листе бумаги, удобнее использовать сантиметр — одну сотую часть метра или дециметр — одну десятую часть метра. Если за единицу измерения принят сантиметр, то для измерения отрезка нужно узнать, сколько раз в нём укладывается сантиметр.

На рисунке 47 сантиметр укладывается в отрезке АВ ровно три раза. В этом случае говорят, что длина отрезка АВ равна 3 сантиметрам, или кратко: Конечно, отрезок, принятый за единицу измерения, может не уложиться целое число раз в измеряемом отрезке — получится остаток.

Например, на рисунке 47 в отрезке АС сантиметр укладывается четыре раза с остатком, но не укладывается пять раз. Сантиметр — от латинского centum сто , сотая часть метра.

Дециметр — от латинского decern десять , десятая часть метра. Миллиметр — от латинского mille тысяча , тысячная чааь метра. Для измерения остатка пользуются одной десятой частью сантиметра — миллиметром: Если же и миллиметр не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток, то его можно измерить с помощью долей миллиметра На практике пользуются приближёнными значениями длин отрезков, но мысленно процесс измерения можно продолжать всё дальше и дальше.

Таким образом, при выбранной единице измерения длина каждого отрезка выражается положительным числом, показывающим, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке. Если два отрезка равны, то единица измерения и её части укладываются в них одинаковое число раз, т. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения или её часть укладывается в нём меньшее число раз, чем в другом, т.

Ясно также, что если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков рис. Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка. Таксе деление было удобно для их вычислений, потому что у них число 60 играло такую же роль, как у нас число Минута — от латинского minutus уменьшенный, малый. Секунда — от латинского secunda di-visio, второе деление градуса Транспортир — от латинского trans-portare переносить Измерение углов основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения.

Обычно за единицу измерения принимают градус — угол, равный части развёрнутого угла. Градусная мера угла показы вает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле. Например, градусную меру угла, в котором укладывается 35 градусов, 42 минуты и 27 секунд, можно записать так: Для измерения углов, изображённых на чертеже, используют транспортир рис. Если два угла равны, то градус и его части укладываются в них одинаковое число раз, т.

Если же один угол меньше другого, то градусная мера меньшего угла меньше градусной меры большего угла. Угол, меньший прямого, называется острым, а угол, больший прямого, но меньший раз-f вернутого, — тупым рис. Найдите длину отрезка ВС в сантиметрах Не забудьте рассмотреть все возможные случаи. Расстояние между серединами средних частей равно 7 см. Найдите расстояние между серединами крайних частей.

Расстояние между серединами крайних частей равно 50 см, а между серединами средних частей — 20 см. Найдите длину отрезка АВ. Каким углом острым, прямым, тупым или развёрнутым является искомый угол? Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. На рисунке 53 вертикальными являются углы 1 и 3, а также углы 2 и 4. Угол 2 на рисунке 53 является смежным как с углом 1, так и с углом 3. Если один из них прямой, то и остальные углы прямые.

Доказательство этого утверждения приведено на рисунке Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными или взаимно перпендикулярными , если они образуют четыре прямых угла. Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой. Отрезок, соединяющий точку А с точкой Н прямой а, называется перпендикуляром.

Точка Н называется основанием перпендикуляра АН. Шоссе и ответвляющаяся от него дорога образуют два смежных угла. I а Отрезок АН — перпендикуляр к прямой а Рис. А есть ли такой перпендикуляр? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо провести рассуждение. В математике утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждения, называется теоремой, а само рассуждение — доказательством теоремы.

Обычно сначала формулируют теорему т. Например, когда мы ввели понятие вертикальных углов, то сначала сформулировали теорему хотя и не называли её теоремой ; вертикальные углы равны, а затем привели доказательство этой теоремы. Докажем теорему о существовании перпендикуляра к прямой. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой. Доказательство Пусть А — точка, не лежащая на данной прямой а рис. Докажем, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой а.

Мысленно перегнём плоскость по прямой а рис. При этом точка А наложится на некоторую точку. Обозначим её буквой В. Разогнём плоскость и проведём через точки Л и В прямую. Пусть Н — точка пересечения прямых АВ и а рис. При повторном перегибании плоскоаи по прямой а точка Н останется на месте. Поэтому луч НА наложится на луч НВ, и, следовательно, угол 1 совместится с углом 2.

Следовательно, отрезок АН — перпендикуляр к прямой а Теорема доказана. Докажем теперь теорему о единственноаи перпендикуляра к прямой. I Из точки, не лежащей на прямой, нельзя провести два перпендикуляра к этой прямой. Пусть А — точка, не лежащая на данной прямой а см. Докажем, что из точки А нельзя провести два перпендикуляра к прямой а.

Мысленно перегнём плоскость по прямой а так, чтобы полуплоскость с границей а. Но этого не может быть. Следовательно, наше предположение неверно, а значит, из точки А нельзя провести два перпендикуляра к прямой а.

Э8 Из теоремы о единственности перпендикуляра к прямой следует, что две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, не пересекаются. Предположим, что две прямые, перпен-j дикулярные к прямой а, пересекаются в некоторой точке М. Если же точка М не лежит на прямой а рис 58, б , то из точки М будут проведены два перпендикуляра к прямой а, что невозможно.

Таким образом, две прямые, перпендикулярные к прямой а, не пересекаются. Вопросы и задачи Найдите эти углы, б Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых угла, один из которых в три раза больше половины другого. Найдите остальные четыре угла. Один из этих шести углов в два раза больше другого и в три раза меньше третьего. Найдите остальные три угла в о D Рис. Докажите, что О А 1ОВ. Объясните, что такое отрезок и концы отрезка. Сколько прямых проходит через две данные точки?

Сколько общих точек могут иметь две прямые? Как называется общая точка двух прямых? Объясните, что такое луч и что такое полуплоскоаь. Какая фигура называется углом? Что называется вершиной угла и что — сторонами угла? Какой угол называется развёрнутым? Какие фигуры называются равными? Объясните, как сравнить два отрезка и как сравнить два угла. Какая точка называется серединой отрезка? Какой луч называется биссектрисой угла? Объясните, как производится измерение отрезков.

Как связаны между собой длины отрезков АВ и CD, если: Что показывает градусная мера угла? Какая часть градуса называется минутой, а какая — секундой? Какой угол называется острым, какой — прямым, а какой — тупым? Какие углы называются смежными? Чему равна их сумма? Какие углы называются вертикальными? Каким свойством они обладают?

Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой. Что такое основание перпендикуляра? Что такое теорема и доказательство теоремы? Докажите теорему о существовании перпендикуляра к прямой. Докажите теорему о единственности перпендикуляра к прямой. Расстояние между серединами отрезков AM и NB равно d.

Найдите длину данного отрезка. Найдите угол АОС, если: Какой угол образуют стрелки часов в 3 ч 10 мин? Докажите, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Могут ли углы hk и М быть: Соединив их тремя отрезками, получим геометрическую фигуру, называемую треугольником рис. Выбранные точки называются вершинами треугольника, а соединяющие их отрезки — его сторонами. Сумма длин всех сторон треугольника называется его периметром.

Треугольник можно увидеть и на фасаде здания. Теорема об углах равнобедренного треугольника Периметр — от греческих nepi [пери] — вокруг, около и netpeiv [мет-рейн] — измерять. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним рис.

Мысленно скопируем треугольник АВС на лист прозрачной бумаги, перевернём копию рис. В результате копия полностью совместится с треугольником АВС рис. Признак равнобедренного треугольника i Если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный. Воспользуемся идеей доказательства теоремы об углах равнобедренного треугольника. Поскольку углы Б и С равны, то угол Б копии совме- стится с углом с треугольника, а угол С копии — с углом В треугольника.

Поэтому точка А копии совместится с вершиной А треугольника. Теорема доказана Таким образом, равенство у треугольника двух углов позволяет сделать вывод о том, что этот треугольник равнобедренный, т. Отрезок AN называется биссектрисой треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника рис. Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника рис.

Докажем теорему о высоте равнобедренного треугольника. Катет треугольник треугольник Прямоугольный треугольник Рис. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называют тупоугольным рис. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называют прямоугольным рис.

Такое название связано с тем, что раньше было принято изображать прямоугольный треугольник стоящим на гипотенузе. Отрезок АЛТ — наклонная к прямой а Рис. Пусть точка Я — основание перпендикуляра, проведённого из точки А к прямой а, а М — любая другая точка прямой а. Отрезок AM называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а рис.

Так как катет меньше гипотенузы, то перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой. На рисунке 98 расстояние от точки А до прямой а равно длине отрезка АН. Докажем теперь, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Поэтому согласно теоремам о первом и втором признаках равенства треугольников справедливы следующие утверждения: В самом деле, в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому указанные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников Рассмотрим ещё один признак равенства прямоугольных треугольников.

I Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Докажем, что эти треугольники равны. На рисунке прямая а — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку. I Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Условие теоремы — это то, что дано, заключение — то, что требуется доказать. Рассмотрим, например, теорему об углах равнобедренного треугольника. Чтобы выделить в ней условие и заключение, сформулируем её так: Условием здесь является первая часть утверждения: Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключени- Прямая а — серединный перпендикуляр к отрезку AS Рис.

Обратной теореме об углах равнобедренного треугольника является теорема о признаке равнобедренного треугольника: Отметим, что если доказана какая-нибудь теорема, то из этого ещё не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда оказывается верным. Например, мы знаем, что если углы вертикальные, то они равны. Докажем теорему, обратную теореме о серединном перпендикуляре к отрезку. Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Обозначим это множество буквой Ф. По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку каждая точка серединного перпендикуляра принадлежит множеству Ф. А по обратной теореме каждая точка множества Ф принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку.

Следовательно, множество Ф и есть этот серединный перпендикуляр. Множество всех точек, удовлетворяющих какому-либо условию, называют также геометрическим меаом точек, удовлетворяющих этому условию. Можно сказать, что серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое меао точек, равноудалённых от его концов.

Свойство биссектрисы угла Докажем сначала теорему о биссектрисе угла, а затем обратную ей теорему. I Каждая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Рассмотрим точку М, которая лежит внутри неразвёрнутого угла А и равноудалена от его сторон, т. Докажем, что луч AM — биссектриса угла А. Проекция отрезка Проекцией точки М на прямую а называется основание перпендикуляра, проведённого из точки М к прямой а, если точка М не лежит на прямой а, и сама точка М, если она лежит на прямой о Проекцией отрезка на прямую а называется множество проекций всех точек этого отрезка на прямую а.

Пуаь и — проекции точек А и В на прямую OQ. Однако этот факт требует обоснования: Докажем, что точка М, лежит на отрезке A,Bi. По аналогичной причине точка В, лежит по ту же сторону от прямой ММ,, что и точка В.

Первая часть утверждения доказана. Докажем, что она является проекцией некоторой точки отрезка АВ. Проведём прямую M,N, перпендикулярную прямой OQ рис. Проекцией этой точки на прямую OQ и является точка М,. В самом деле, если предположить, что точка А, лежит на продолжении стороны OQ рис.

Итак, мы доказали, что О проекцией отрезка, лежащего на одной из сторон острого угла, на другую сторону является отрезок. Докажем теперь теорему о проекциях равных отрезков Рис. С и D на другую сторону данного угла. Если равные отрезки АВ и CD расположены так, как показано на рисунке , б т. Доказательство этого утверждения приведено на рисунке , б.

Это означает, что прямая ММу — серединный перпендикуляр к отрезку АС. Доказательсгпо Рассмотрим треугольник АВС.

Допустим, что это не так. Поэтому угол А не может быть равным углу В и не может быть меньше угла В. Замечание При доказательстве теоремы мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного. Исходя из этого предположения, путем рассуждений мы пришли к противоречию с условием теоремы.

Такой способ рассуждений часто используется в математике при доказательствах утверждений. Мы тоже неоднократно им пользовались. Попробуйте вспомнить, где именно.

В любом треугольнике хотя бы два угла острые. Сравните углы этого треугольника и выясните, может ли угол А быть тупым. Сравните стороны этого треугольника. Найдите углы этого треугольника. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. Верно ли обратное утверждение? Докажите, что этот треугольник — остроугольный. Докажите, что КВ - CL. Докажите, что в равнобедренном треугольнике равны; медианы, проведён ные к боковым сторонам; биссектрисы, проведённые к боковым сторонам Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника X с; О Докажите, что в равнобедренном треугольнике две высоты, проведённые из вершин основания, равны.

Докажите, что если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного остроугольного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого остроугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Докажите, что середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от боковых сторон. Докажите, что АВ 1 ОМ Точка М лежит во внутренней области треугольника АВС.

Найдите j угол CPQ. Определение окружности Предложение, в котором разъясняется смысл какого-либо слова или словосочетания, называется определением. В нашем учебнике уже были определения, например определе! Сформулируем ещё одно опреде- Определение Окружноаью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии отданной точки.

Из определения окружности следует, что все радиусы равны друг другу. Часть Радиус — от латинского radius спица в колесе.

Диаметр — от греческого бкхцетро? Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр, называется диаметром рис. Поскольку центр окружности является серединой диаметра, то диаметр окружности в два раза больше её радиуса. Для построения окружности пользуются циркулем рис. Для проведения окружности на местности пользуются веревкой и двумя колышками рис.

Докажем, что никакие три точки окружности не лежат на одной прямой. Воспользуемся методом доказательства от противного: Но этого не может быть Следовательно, точки А, Б и С не лежат на одной прямой, и требовалось доказать. Выясним, сколько об- диаметра щих точек имеют прямая а и окружность в зависимости от соотношения между d и г. Это означает, что точка D лежит вне круга, ограниченного данной окружностью. Таким образом, один конец отрезка HD точка Н лежит внутри указанного круга, а другой точка D — вне этого круга.

Следовательно, на отрезке HD найдется точка А, лежащая на окружности рис. Следовательно, точка М не лежит на окружности. I Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство Пусть а — касательная к окружноаи с центром О, А — точка касания рис. Докажем, что а 1 ОА. Тогда радиус ОА будет наклонной к прямой а, поэтому расстояние от точки О до прямой а меньше радиуса. Из этого следует, что прямая а является секущей, а не касательной, что противоречит условию. Следовательно, прямая а перпендикулярна к радиусу ОА. Рассмотрим две касательные к окружноаи с центром О, проходящие через точку А. Пусть В и С — точки касания рис.

Они обладают следующим свойавом: Докажем теперь теорему, обратную теореме о свойстве касательной признак касательной. I Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. По условию данный радиус радиус О А на рис. Следовательно, прямая а и окружность имеют только одну общую точку, т. Отметим на окружности какие-нибудь две точки — Л и Б.

Сравнение отрезков и углов стр. Равентсво геометрических фигур стр. Измерение отрезков и углов стр. Смежные и вертикальные углы стр. Теорема об углах равнобедренного треугольника стр. Признак равнобедренного треугольника стр.

Теорема и высота равнобедренного треугольника стр. Признаки равенства треугольников стр. Первый признак равенства треугольников стр. Второй признак равенства треугоников стр. Третий признак равенства треугольников стр. Признаки равенства прямоугольных треугольников стр. Серединный перпедикуляр к отрезку стр.

Свойство биссектрисы угла стр. Соотношения между сторонами и углами теугольника стр. Теоремы о соотношениях между сторонами и углами теугольника стр. Сумма углов треугольника стр. Отрезки и углы, связанные с окружностью стр. Взаимное расположение прямой и окружности стр. Хорды и дуги стр. Угол между касательной и хордой стр. Задачи на повторение стр.